Obrátil se na mě modelářský kolega, jak by měla vypadat RESka do klidu. Zda hodně prohnutý profil, který je výhodný v kluzu, nezpůsobí, že model na gumicuku nenastoupá. Odpověděl jsem, že nevím, ale nasadil mi brouka do hlavy. Dále uvedený text je tedy plodem teoretického úsilí modeláře, který se zařekl, že s gumicukem a podobnými zvrácenostmi (ve srovnání s elektromotorem 🙂 ) už nikdy nechce mít nic společného. Proto prosím o shovívavost a případnou opravu, pokud víte, že je něco ve skutečnosti jinak, než mi vyšlo na papíře (předpokládám, že skoro všechno 😉 ). A hned se omlouvám i za fotku s vrtulí.

Teorie
Vlek modelu na šňůře je velmi zajímavá úloha, ale bez teorie se neobejde.

Na model (ano, je to Sýček bez vrtule, zato s hlavicí 🙂 ) na šňůře působí síly uvedené na obrázku (momenty jsem zanedbal). Celková síla působící na model je vektorovým součtem (součtem šipek) všech čtyř sil (aerodynamickou sílu rozkládám v souladu s tradicí na vztlak a odpor, je to důležité, jak ukáži dále).

Dále se použije 2. Newtonova zákona: Jestliže na těleso (hmotu) působí síla, pak se těleso pohybuje zrychlením, které je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa, tj. stručněji F=m*a. Jestliže znám pravidlo, podle kterého se model pohybuje (2. Newtonův zákon), umím spočítat okamžitou rychlost modelu i jeho polohu (trajektorii).

Modelování gumicuku jsem odbyl. Délka šňůry je stále 100 m, přičemž její spodní konec „utíká“ po zemi tažen gumou. Od síly gumy odečítám aerodynamický odpor šňůry. Hmotnost (a tudíž i dynamiku vlečného zařízení dle 2. NZ) jsem po pokusech zanedbal, nezdá se významná.

Aerodynamická síla (směr i velikost) se vztahuje k okamžité rychlosti. Ze šipky okamžité rychlosti a sklonu šňůry mohu určit úhel mezi šňůrou a osou modelu. Tento úhel nemůže být větší než asi 90-100 °, protože by se model vyhákl ze šňůry (je to daň za zjednodušení modelu modelu neuvažováním momentů).

Pomohl jsem si tím, že součinitel vztlaku se při přibližování k tomuto limitu snižuje. Je to podobné, jakoby pilot ovládal výškovku. Připouštím ovšem, že tento přístup nemusí být úplně korektní, i když pravděpodobně nemá na výsledky vliv, jak ukáži dále.

Součinitel odporu modelu lze vyjádřit jako funkci součinitele vztlaku cd=p+q*cl^2 (odkazuji na svůj předchozí článek).

Parametry úlohy shrnuje tato tabulka. Model má hmotnost 500 g a plochu 35 dm2. Šňůra je dlouhá 100 m, guma při natažení o 30 m dává sílu 40 N, průměr šňůry je 0.7 mm. Protivítr není.

Výsledky
Výpočet potřebuje takzvané počáteční podmínky. Model startuje v bodě [0, 2] (ve vzdálenosti 0 m a výšce 2 m) a je vypuštěn vzhůru s počáteční rychlostí [0.1; 5] m/s (tj. prakticky kolmo vzhůru).

Vypočtená trajektorie modelu. Model startuje v souřadnicích [0, 2], největší výšky asi 75.5 m dosáhne asi 65 m od startu. Na dalším grafu je průběh výšky, rychlosti a úhlu mezi modelem a šňůrou v závislosti na čase.

Toto je hodně zajímavé. Na začátku se energie gumicuku spotřebovává na urychlení modelu, ne na výšku. nebezpečná může být i rychlá změna úhlu – model se může po přechodu do stoupání vyháknout (pozn. 1: alespoň tak mi to vychází, skutečnost může být jiná – připomínám, že jsem sepsal něco, čemu nerozumím 🙂 ; pozn. 2: kvůli tomuto jsem musel zavést závislost součinitele vztlaku na úhlu). I druhý konec stojí za pozornost, od nějaké 8. sekundy má model menší rychlost než minimální, stoupá už jen setrvačností, proto je záhodno vypnout včas. Pokud by se vypínalo až na konci čáry, byl by model sice v největší výšce, ale neměl by rychlost. Program se totiž zastavuje po dosažení největší výšky, ostatní okolnosti neřeší.

Dal jsem si za úkol zkoumat model, ne modeláře, ale pokud se při vypouštění udělí modelu pořádná rychlost 20 m/s (směrem vzhůru), vypadá graf takto:

Ono počáteční „zavlnění“ v rychlosti a úhlu je pryč a dosažená výška je asi o 7 metrů větší než při odhodu laxním.

Pro další analýzu ale nechávám rychlost odhozu malou, přeci jen jde o kategorii pro starší pány a dítka školou povinná, již nebo zatím bez svalnatých paží 🙂 .

Citlivostní analýza
V této kapitole budu zkoumat „co se stane když“. Budu měnit jednotlivé parametry matematického modelu a pozorovat změny v dosažené výšce. Srovnávací model dosáhl výšky 75.5 m.

Součinitel vztlaku
Jak jsem napsal výše, závislost součinitele vztlaku na úhlu mezi směrem letu a šňůrou není zcela korektní. Protože ale úhel (viz graf výše) je po většinu letu mezi 80 a 70 stupni, je možné aktuální, či pracovní součinitel vztlaku určit jako ten při 75 stupních.

Závislost dosažené výšky na pracovním součiniteli vztlaku vypadá takto. Pro vlek optimální součinitel vztlaku je tedy asi 0.6 až 0.7. Zde je vhodné připomenout, že 0.7 je asi tak maximální součinitel vztlaku RES křídla s profily AG35 – AG37. Křivka je plochá, rozdíly nejsou velké. Maximální součinitel vztlaku 0.7 platí pro celé křídlo, u kořene je místní součinitel vztlaku větší, na konci křídla zase menší (viz rozložení vztlaku).

Součinitel odporu
Odpor modelu je dán vztahem cd=0.02+0.05*cy^2. První konstanta 0.02 vyjadřuje třecí odpory modelu a lze ji ovlivnit mimo jiné třeba tvarem trupu. Druhá část 0.05 souvisí s generováním vztlaku a lze ji ovlivnit třeba tvarem půdorysu křídla.

Závislost dosažené výšky na součiniteli odporu je silnější než na součiniteli vztlaku.

Hmotnost
Tady je to jednoduše jednoznačné:

Vliv vlečné šňůry
Jen pro ověření – pokud by vlečná šňůra měla nulový aerodynamický odpor, model by vylezl do 78.6 m, tj. asi o 3 m výše.

Vlečné šňůry jsou ovšem pro všechny stejné.

Diskuse
Je zřejmé, že největší výšky dosáhne model lehký a aerodynamicky čistý (to přeci každý ví 🙂 ). Hmotnost je jasná, s aerodynamikou je to složitější, protože po vleku následuje kluz.

Podle „modelářské bible“ pánů Hořeního a Lněničky „Letecké modelářství a aerodynamika“ závisí maximální součinitel vztlaku profilu na prohnutí jako clmax = 0.65+10*f. Profilový odpor podle stejného zdroje závisí na tloušťce a prohnutí profilu jako cd/cr=1+10*d+5000*f^3.

Když uvažuji pouze tyto dva vzorečky a spočítám stoupací číslo (jemuž je nepřímo úměrná klesavost), dostanu ukázaný průběh (100% je pro prohnutí 2%). Pro prohnutí profilu asi 3.5% bude klesavost modelu o asi 8% menší než při prohnutí profilu 2%. Ale kvůli většímu aerodynamickému odporu bude dosažená výška o asi 5% menší, takže zisk na době letu může být 3%. Jenomže to není pravda. 8% zisku platí jen pro profil, pro celý model to bude méně, třeba polovina. Profil s větším prohnutím bude mít větší klopivý moment a bude proto vyžadovat větší výškovku s větším odporem. Větší vztlak znamená také menší rychlost letu, tudíž menší Re číslo a větší třecí odpor. Takže, podle mě nula od nuly pojde a nemá cenu pro klidový model vymýšlet nějaký speciální profil. Přesto by se mělo, zejména u modelu do klidu, bojovat o jednotlivá procenta aerodynamické výkonnosti, jen si nemyslím, že je lze nahnat profilem. Ale to už by byl zase jiný příběh.

Budu rád, pokud toto povídání někoho podnítí k výzkumu, že nemám pravdu. Teorie by měla jít ruku v ruce s praxí a já létal s gumicukem naposledy tak před 30 lety. Předem děkuji.

Honza
11. 11. 2022