Optimální tvar křídla

V titulku by měl být otazník, ale protože neznám odpověď, tak se ani raději nechci ptát 🙂 . Při svém pídění se po vědění jsem narazil na některé zajímavé skutečnosti, o které se chci podělit. Tento článek navazuje na mé předchozí povídání o aerodynamice.

Pokud zní zadání navrhnout křídlo pro daný vztlak a dané rozpětí, vyjde jako ideální (z hlediska indukovaného odporu) elipsa. Teorii vztlakové čáry (psal jsem o ní tady) „vymyslel“ pan Prandtl v německém Göttingenu někdy v období 1. světové války.

Jen připomínám, že eliptické rozložení vztlaku nemusí znamenat eliptický půdorys křídla, třeba negativ na obdélníkovém křídle zajistí „téměř“ eliptické rozložení vztlaku, nicméně pokud bude níže psát eliptické křídlo, budu tím myslet křídlo s eliptickým rozložením vztlaku.

Dále, optimalizovaným parametrem je indukovaný odpor, to jest odpor související přímo s generováním vztlaku.

Co když ale rozpětí omezené není? Co když se změní zadání z křídla pro daný vztlak a dané rozpětí na křídlo s daným vztlakem a danou spotřebou materiálu?

V roce 1933 publikoval pan Prandtl článek (ke stažení v němčině), v němž úlohu se změněným zadáním vyřešil. Prandtlův výpočet zopakoval (tedy mně se zdá, že mu vyšlo něco trochu jiného, číselně, ne principiálně 😉 ) americký aerodynamik Robert T. Jones (mimochodem, v pravdě renesanční osobnost) v roce 1950 a z jeho práce „Rozložení vztlaku podél rozpětí poskytující minimální indukovaný odpor pro křídla, která mají daný vztlak a daný ohybový moment“ (ke stažení v angličtině) jsou bez dovolení převzaty následující grafy.


Na vodorovné ose je poměr skutečného rozpětí ku eliptickému rozpětí, na svislé ose potom poměr indukovaných odporů takových křídel. Eliptické křídlo má relativní rozpětí 1 a indukovaný odpor také 1.

Křivka říká, že 15% zvětšení rozpětí přinese asi 15% úsporu indukovaného odporu, další zvětšování rozpětí má jen velmi malý vliv, teprve až od nějakých 160% rozpětí začne odpor znovu pomalu klesat. Praktické omezení zvětšení rozpětí je tedy oněch 10 až 20%.


Na tomto grafu jsou ukázána rozložení vztlaku pro jednotlivá rozpětí. Se zvětšováním rozpětí se průběh vztlaku „narovnává“ a eliptický tvar přechází ve „zvonovitý“ tvar.

I když jsem si dal závazek nechat si ptáky na jindy, neodolávám a upozorňuji, jak je značně zúžené křídlo výhodné i biologicky – tlusté kosti a silné svaly jsou u těla, na konci křídla už stačí „peříčka“, co moc nenesou. Ostatně, viděl někdo někdy ptáka s eliptickým křídlem?

U lidských výtvorů, tj. letadel, bývá většinou omezené rozpětí. Teď nemám na mysli jen naše modelářské kategorie, ale třeba velká letadla se musejí vejít do hangárů, mezi terminály apod. Takový winglet vlastně není nic jiného než ona „peříčka“. Protože však winglet nesmí zvětšit rozpětí a je ke křídlu přibližně kolmý, nemá tu účinnost, jakou by mít mohl. Přijde mi zajímavé, že u letadla, které je modifikací civilního stroje, ale zřejmě nenocuje v civilních hangárech a nezajíždí k civilním terminálům, mohli konstruktéři winglety „narovnat“ (raked tips) a tak výhod prodlouženého rozpětí plně využít.


(Zadejte do vyhledávače P-8 Poseidon, vyplivne lepší obrázky, já hledal nějaký veřejně dostupný – tento je z wikipedie a ač kompozičně nádherný, konce křídla Boeingu moc vidět nejsou.)

Připomínám, že výše uvedené se týká přidání nástavců na křídlo, které zmenšují indukovaný odpor, ale nezvětšují namáhání křídla.

Tedy, podle zadání úlohy:

  • dané jsou vztlak a rozpětí: vyjde elipsa
  • dané jsou vztlak a spotřeba materiálu (ohybový moment): vyjde „zvon“

Výsledky získané z teorie jsou tedy jasné. Ale co když teorie neplatí? Nebo neplatí úplně přesně? Teorie vztlakové čáry je jednoduchá, ale zanedbává jeden podstatný jev, který bych neodborně nazval „přeléváním“ vzduchu ze spodní strany křídla (kde je přetlak) na svrchní stranu křídla (kde je podtlak) přes koncový oblouk.

V článku o stavbě Sýčka jsem zmínil publikaci pana Sigharda Hörnera Fluid-Dynamic Drag. Je to anglická „bichle“ shrnující k roku vydání v roce 1965 vše, co se kde napsalo, změřilo a publikovalo ohledně aerodynamického nebo hydrodynamického odporu (ke stažení v angličtině). Obrázky opět přebírám bez povolení.


Z pozorování ve vodním tunelu je zřejmé, že proudění se přelévá ze spodní strany přes koncový oblouk na horní stranu. Z toho vyplývá, že pokud koncový oblouk dokáže vír odvést dále od křídla, bude se křídlo jevit s větším rozpětím.


Na obr. (a) koncový oblouk odvedl vír od křídla, na obr. (b) se mu to nepovedlo.

V roce 1941 změřili v Německu různá zakončení křídel a sledovali změnu efektivní štíhlosti (platí pro obdélníkové křídlo se štíhlostí 3 a Re=10^6, profil byl asi NACA 2412):



Zaoblený koncový oblouk se tedy zdá zmenšovat efektivní štíhlost křídla o 18% až 20% hloubky. Pokud má křídlo hloubku 200 mm, chová se křídlo s takovým obloukem stejně, jako by bylo o 36 až 40 mm kratší. Na druhé straně, ostrá hrana oblouku víru nedovolí dostat se nad křídlo. Zajímavé je, že špatný se nezdá ani rovně useknutý konec. Poláry pro křídla 1, 2 a 5 jsou na následujícím obrázku.

Odtud tedy pochází Hoernerův (i když bych asi správně měl psát Hörnerův) koncový oblouk číslo 5. Kniha je skvěle ozdrojovaná a všechny odkazy, co jsem hledal, jsem na internetu našel. Přesný tvar Hoernerova oblouku je definován v této zprávě (anglicky).

To ale ještě není konec. Autor shrnul tři různá měření různých půdorysných tvarů do této tabulky:


„A“ je štíhlost křídla, ΔAi je změna štíhlosti v důsledku indukovaného odporu. Závěr je poněkud „pobuřující“ – obdélníkové křídlo s rovně useknutými konci není horší než eliptické (porovnejte (a) a (c)). V knize se píše, že nejlepší půdorysy jsou obdélník, mírně se zužující lichoběžník a případně i elipsa s dlouhou odtokovou hranou. Za sebe bych dodal, že většina letadel taková křídla má, takže to bude asi pravda 🙂 .

Mé závěry:
Z výše uvedeného vyplývá, že u křídel malých štíhlostí zřejmě převažuje vliv koncových oblouků nad vlivem půdorysu křídla. Proto pro větroně s velkými štíhlostmi křídla (typicky okolo 10):

  • teorie vztlakové čáry je dobře použitelná a protože máme většinou omezená rozpětí, mělo by být rozložení vztlaku eliptické, či eliptickému co nejbližší
  • pokud rozpětí omezené není (nesoutěžní modely), možná by stálo za to vyzkoušet lehké nástavce
  • vliv okrajových oblouků je relativně menší, ale fyzika jevu je dobře odůvodněná, takže ostrou hranou okrajového oblouku se nic nezkazí

Pro motoráčky s malými štíhlostmi křídla (typicky okolo 5) asi nemá cenu se moc zabývat půdorysem, obdélník je nejjednodušší. Hoernerův koncový oblouk se snadno vyrobí a je nejlepší i teoreticky.

Doufám, že mi tyto závěry alespoň pár měsíců vydrží 😀 .

Honza
23.2.2022

Komentáře: 3

  1. Já je vlastně taky rád čtu, i když jim/mu/tomu vůbec nerozumím.
    Pak si to musím přečíst několikrát, vracet se, přemýšlet – to bolí, ale díky za takové články lidsky podané.

  2. Ahoj Ivo a Vláďo,

    děkuji za pochvaly. Mě teorie létání moc baví, i když pochybuji, že mi bude kdy dobrá k něčemu jinému, než radosti z pochopení nějaké souvislosti 😉
    H.

Komentáře nejsou povoleny.