V posledních několika týdnech jsme i na těchto stránkách diskutovali vliv teploty na parametry elektromotoru, dokonce jsem podnikl primitivní pokus o měření, jehož výsledkem bylo zjištění, že studený motor „žere“ nepatrně více. Mnohem důležitější je výsledek Radima Barče, který změřil, že po podchlazení motoru se podstatně zvýšily otáčky při onom „nepatrném“ zvýšení proudu. Dá se to spočítat?

Vždy mě štve, když něčemu nemohu přijít na kloub. Někdy to bývá z důvodů intelektuální náročnosti tématu, jindy za tím je obyčejná lenost, což se ukázalo být pravdivým v případě problému „vlivu teploty na výkon elektromotoru“. Dále jsou uvedeny i vzorečky, ty klidně přeskočte, já si je tu píšu jen proto, abych je příště nemusel hledat či odvozovat znovu.

Model elektromotoru
Při práci motoru se uplatňují dva v podstatě nezávislé jevy:
a) na vodič nacházející se v magnetickém poli, kterým prochází proud, působí síla
b) ve vodiči, který se pohybuje v magnetickém poli, se indukuje elektromotorické napětí

Podle jevu a) bude točivý moment motoru proto úměrný následujícím veličinám:
– délce cívky
– průměru cívky
– počtu závitů cívky
– „síle“ magnetů
– procházejícímu proudu

První čtyři veličiny (rozměry cívky a „síla“ magnetů“) jsou zřejmě konstrukčními parametry motoru a proto je lze shrnout do jediné konstanty, kterou budu dále nazývat konstantou motoru km a která má rozměr „točivý moment na proud“, tj. [Nm/A]. S naší obvyklejší konstantou vyjadřující „počet otáček na volt“, tj. [rad/s/V], tato konstanta motoru úzce souvisí – jde jen o jiné vyjádření téhož.

Aplikace jevu b) je o trochu složitější, ale ne o moc. Elektromotorické napětí naindukované v pohybující se cívce je rovné přiloženému napětí (z baterie) minus ztráta napětí ve vinutí. Elektromotorické napětí lze potom odvodit jako úměrné:
– délce cívky
– průměru cívky
– počtu závitů cívky
– „síle“ magnetů
– otáčkám

Konstanta motoru km je tu zase!

Elektromotor točí vrtulí. Výkon vrtule je úměrný 3. mocnině otáček, její moment potom druhé mocnině. Odvození této závislosti lze nalézt v anglické verzi těchto stránek, ale jde o obecně uznávanou skutečnost.

Máme tedy 3 rovnice pro moment motoru, otáčky motoru a moment vrtule v závislosti na otáčkách:

Po troše „matiky“ lze otáčky spočítat ze vzorečku:

N … otáčky motoru
M … točivý moment motoru
km … konstanta motoru
kv … konstanta vrtule
U … napětí
I … proud
Ri … odpor vinutí

Příklad:
Motor třídy 2208 při napětí 7.4 V odebírá 25 A, má účinnost 60% a s vrtulí 10×6 točí 8000 ot./min.

Příkon motoru Pm = U*I = 7.4*25 = 185 W
Výkon motoru Pv = Pm*eta = 0.6*185 = 111 W
Konstanta vrtule kv = Pv/N^3 = 111/8^3 = 0.22
Moment motoru M = kv*N^2 = 0.22*8^2 = 13.88
Konstanta motoru km = M/I = 13.88/25 = 0.56
Odpor motoru Ri = (U-km*N)/I = (7.4-0.56*8)/25 = 0.12

Pozn.: pro zjednodušení jsou otáčky použity v tisících za minutu.

Závislost parametrů na teplotě
Ve výše popsaném modelu sestavy motor – vrtule jsou dvě konstanty, které jsou teplotně závislé. Konstanta motoru obsahuje vliv magnetů, magnety při zahřívání „slábnou“. Druhou konstantou je vnitřní odpor vinutí, se zvyšující se teplotou odpor roste. Stačí tedy vhodným způsobem vyjádřit závislost konstanty motoru a vnitřního odporu na teplotě.

Lze předpokládat, že oba parametry se budou měnit podle závislosti

nová hodnota = referenční hodnota * (1 + rozdíl teplot * koeficient)

Koeficient teplotní závislosti odporu mědi je 0.00393 1/°C. Teplotní závislost „síly“ magnetu se liší dle druhu magnetů, nejvyšší má ferit s -0.002 1/°C, nejmenší asi SmCo s asi -0.00005 1/°C (minus je tam proto, že se při zvyšování teploty síla magnetu zmenšuje). (Zdroj zde). Zdá se, že dobré shody s naměřenými údaji (při stejné teplotě vinutí i magnetů) lze dosáhnout s koeficienty 0.003 (vinutí) a -0.001 (magnety).

Závislost parametrů motoru na teplotě potom vypadá následovně.

Názornější je grafické vyjádření (při 20 °C jsou všechny hodnoty 1):

Příkon motoru (červená čára) se mění jen velmi málo, zato účinnost (žlutá) a tudíž i výkon motoru (modrá) rostou výrazně.

Pokud si bude chtít někdo „hrát“ s čísly, mohu mu poslat program v Excelu s výše uvedeným výpočtem. Jsem si vědom toho, že model je oproti skutečnosti značně zjednodušený, nicméně vrací výsledky „v podstatě očekávané“, a já mám, alespoň na chvíli, klid v duši :-).

Honza
25.12.2010